Uendeligt decimaltal


Et uendeligt decimaltal er et decimaltal, hvor decimalerne ikke alle bliver 0 fra et vist trin.

Her er to eksempler på uendelige decimaltal:

t1 = 0,13252525…

t2 = 9,101001000100001…

Decimalerne i de to tal fortsætter uendeligt, og i ingen af tallene bliver alle decimaler 0 fra et vist trin. Alligevel er der forskel på den måde, hvorpå de to tal er bygget op.

I tallet t1 begynder cifrene 25 at gentages i det uendelige. siger, at tallet er et periodisk decimaltal,og cifferrækkefølgen 25 kaldes perioden.

I tallet t2 er der ingen periode. Mellem hvert 1-tal bliver der flere nuller – først 1 nul, så 2 nuller, så 3 nuller osv. Derfor kommer der aldrig en gruppe cifre, der gentager sig i det uendelige. Et sådan uendeligt decimaltal kaldes ikke-periodisk.

Periodiske decimaltal

De periodiske decimaltal kan alle skrives som brøker. Omvendt kan enhver brøk omskrives til et endeligt eller periodisk decimaltal. Da de rationale tal netop er de tal, der kan skrives som brøker, kan de rationaletal derfor også beskrives som de decimaltal, der enten er endelige decimaltal eller periodiske decimaltal.

Antallet af cifre i perioden kaldes periodens længde. Når en brøk omskrives til et periodisk decimaltal, kan periodens længde højst blive nævneren minus 1. For at undgå at skulle gentage perioden flere gange skriver man ofte et periodisk decimaltal ved at sætte en streg over perioden, fx således:

\(\frac{1}{3}=0,333333...=0,\overline{3}\)

\(\frac{4}{7}=0,57148571428571...=0,\overline{571428}\)

\(\frac{328}{2475}=0,13252525...=0,13\overline{25}\)

Se rationale tal.

Ikke-periodiske decimaltal

De ikke-periodiske decimaltal kan ikke omskrives til brøker. Det betyder, at de ikke-periodiske decimaltal netop er de irrationale tal. I en decimalfremstilling for irrationale tal som fx \(\sqrt{2}\) eller \(\pi\) kommer der altså aldrig en gruppe cifre, som begynder at gentage sig i det uendelige.