Trigonometri


Trigonometri betyder trekantsmåling. I trigonometrien udvikles metoder til at beregne de manglende stykker i en trekant, hvis man kender mindst tre andre stykker (deriblandt mindst en side i trekanten).

I trigonometrien indføres nogle såkaldte trigonometriske funktion. Her omtales tre: Sinus, cosinus og tangens.

1. Trigonometri og enhedstrekanter

I en enhedstrekant (en retvinklet trekant, hvor længden af hypotenuse er 1) defineres sinus, cosinus og tangens til de spidse vinkler således:

Sinus til en spids vinkel i en enhedstrekant er længden af vinklens modstående katete.
Cosinus til en spids vinkel i en enhedstrekant er længden af vinklens hosliggende katete.

Tangens til en spids vinkel i en enhedstrekant er sinus til vinklen divideret med cosinus til vinklen.

Tangens til en spids vinkel i en enhedstrekant bliver derved længden af den modstående katete divideret med længden af den hosliggende katete.

Sinus til en vinkel v skrives sin(v). Tilsvarende med cos(v) og tan(v).

Ligesom sin(v) og cos(v) kan tan(v) kan måles som længden af et linjestykke. Man tegner en cirkel med centrum i vinklens spids og med radius 1. I cirklens skæringspunkt med vinklens højre ben (punktet P på figuren) tegnes tangenten. Tangentens skæringspunkt med vinklens venstreben er punktet Q på figuren.

Længden af linjestykket PQ er da lig med tan(v).

2. Trigonometri og almene retvinklede trekanter

Trigonometri kan også bruges på almene retvinklede trekanter, hvor hypotenusens længde er forskellig fra 1. For en retvinklet trekant gælder:

Sinus til en spids vinkel i en retvinklet trekant er længden af vinklens modstående katete divideret med længden af hypotenusen.
Cosinus til en spids vinkel i en retvinklet trekant er længden af vinklens hosliggende katete divideret med længden af hypotenusen.
Tangens til en spids vinkel i en retvinklet trekant er længden af vinklens modstående katete divideret med længden af den hosliggende katete.

Når man kender længden af to sider i en retvinklet trekant, kan man altså finde sinus, cosinus eller tangens til en af de spidse vinkler. Derefter kan man bestemme vinklens gradmål ved hjælp af de omvendte funktioner sin1, cos1 eller tan1.

Eksempel

I trekant ABC, hvor ∠C = 90°, er a = 4 og b = 7.

Vinkel A kan beregnes med tangensfunktionen:

\(tan(A) = \frac{4}{7}\)

dvs.: \(\angle A = \text{tan}^{-1}\left ( \frac{4}{7} \right ) = 29,74^\circ\)

3. Trigonometri og almene trekanter

Det er også muligt at finde sinus, cosinus og tangens til stumpe vinkler. Det gøres ved at bruge enhedscirkel i et koordinatsystem.

I en vilkårlig trekant gælder disse formler:

Sinusrelationerne

\(\frac{a}{\text{sin}(A)}=\frac{b}{\text{sin}(B)}=\frac{c}{\text{sin}(C)}\)

Dette kan også udtrykkes således:

\(\frac{\text{sin}(A)}{a}=\frac{\text{sin}(B)}{b}=\frac{\text{sin}(C)}{c}\)

Cosinusrelationerne

\(a^{2} = b^{2} + c^{2} – 2bc \cdot cos (A)\)

\(b^{2} = a^{2} + c^{2} – 2ac \cdot cos (B)\) 

\(c^{2} = a^{2} + b^{2} – 2ab \cdot cos (C)\)

Fra cosinusrelationerne kan man isolere cosinus til vinklerne:

\(\text{cos}(A) = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)

\(\text{cos}(B) = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\)

\(\text{cos}(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)

Eksempler

 1. 

I trekant ABC er \(\angle\)A = 37, 5°, \(\angle\)C = 62,8° og c = 12,7 cm. Hvis man vil bestemme længden af siden a, har man fra sinusrelationerne at:

\(\frac{a}{\text{sin}(A)}=\frac{c}{\text{sin}(C)}\)

Herfra kan siden a isoleres:

\(a=\frac{c\cdot\text{sin}(A)}{\text{sin}(C)}\)

Ved at indsætte de kendte vinkelstørrelser og sidelængder får man:

\(a=\frac{12,7\cdot\text{sin}(37,5^{\circ})}{\text{sin}(62,8^{\circ})}=8,7\text{ cm}\)

 

 2.
  I trekant ABC er b = 5,3 cm, c = 12,4 cm og \(\angle\)A = 55°. Man kan bestemme længden af siden a ved hjælp af en af cosinusrelationerne:

\(a^{2} = b^{2} + c^{2} – 2bc \cdot cos (A)\)

dvs. \(a = \sqrt{b^2 + c^2 – 2bc \cdot \text{cos}(A)}\)

Ved at indsætte de kendte sidelængder og vinkelstørrelser, får man:

\(a = \sqrt{5,3^2 + 12,4^2 – 2 \cdot 5,3 \cdot 12,4 \cdot \text{cos}(55^\circ)} = 10,3 \text{ cm}\)

Trigonometri kan derfor bruges til beregning af sider og vinkler i alle trekanter.

4. De trigonometriske funktioner

Hvis man maler vinkler med radianmål, kan man tale om sin(x) og cos(x) til alle reelle tal x. Sinus og cosinus er så funktioner, og deres grafer kan tegnes.

5. Andre trigonometriske funktioner

Foruden sinus, cosinus og tangens findes der tre andre trigonometriske funktioner, som dog sjældent benyttes:

Cotangens: \(\text{cot}(x)=\frac {\text{cos}(x)}{\text{sin}(x)}\)

Secans: \(\text{sec}(x)=\frac {1}{\text{cos}(x)}\)

Cosecans: \(\text{cosec}(x)=\frac {1}{\text{sin}(x)}\)