Trekant


En trekant er en plan, lukket figur, der er begrænset af tre rette linjestykker. En trekant er med andre ord en polygon med tre sider.


En trekant navngives efter vinkel spidsernes navne, således at en trekant med vinkelspidserne A, B og C kaldes trekant ABC. Ofte skrives dette ∆ABC.  Siden over for en vinkel navngives ved det tilsvarende lille bogstav. Siden over for vinkel A kaldes a, osv.

Trekanter deles i forskellige typer, som gives navne på to forskellige måder. Dels efter vinkelstørrelserne: spidsvinklederetvinklede og stumpvinklede trekanter, og dels efter sidelængderne: ligesidedeligebenede og uligesidede trekanter.

   Uligesidet 
 Ligebenet 
 Ligesidet 
 Spidsvinklet 
     
 Retvinklet      
 Stumpvinklet 
     
 

Trekanter er særligt interessante geometriske figurer, fordi alle andre polygoner kan deles i trekanter. Det betyder, at areal, sidelængder, vinkelstørrelser osv. for en polygon kan findes eller beregnes, når man kan finde de tilsvarende størrelser i trekanter.

Areal af trekant

Da enhver polygon kan deles i trekanter, kan man finde arealet af en polygon ved at dele den i trekanter og finde arealet af hver trekant for sig. Der er derfor udviklet en række forskellige formler for arealet T af en trekant.

En trekants areal T kan beregnes som „en halv højde gange grundlinje“:

\(T = \frac{1}{2}\cdot h \cdot g\)

Det er ligegyldigt, hvilken af trekantens 3 højder man bruger, blot man også bruger den tilsvarende grundlinje.

Formlen dækker derfor i virkeligheden over 3 formler:

\(T = \frac{1}{2}\cdot h_a \cdot g\)

\(T = \frac{1}{2}\cdot h_b \cdot g\)

\(T = \frac{1}{2}\cdot h_c \cdot g\)

 

 

Eksempel

 

I trekant ABC er a = 5,2 cm, og højden på siden a er ha = 5,0 cm. Arealet af trekanten er så:

 

\(T = \frac{1}{2}\cdot 5,0 \cdot 5,2 = 13 cm^2\)

 

Hvis man i en trekant kender to sider og en mellemliggende vinkel kan arealet af trekanten udregnes efter en af disse formler:

\(T=\frac{1}{2}ab\text{ sin}\left ( C \right )\)

\(T=\frac{1}{2}bc\text{ sin}\left ( A \right )\)

\(T=\frac{1}{2}ac\text{ sin}\left ( B \right )\)

 

Eksempel

 

I trekant ABC er ∠A = 35,76°, b = 4,7 cm og c = 8,2 cm. Arealet af trekant ABC er da:

 

\( T=\frac{1}{2} \cdot 4,7\cdot 802 \cdot \text{ sin}\left ( 35,76^{\circ} \right )\approx 11,26^2\)

 

Herons formel

Det er ofte nemmere at måle sidelængderne nøjagtigt, end det er at måle en højde nøjagtigt. Der findes også en formel, som kan bruges i denne situation.

I formlen, der kaldes Herons formel, indgår tallet s, som er trekantens halve omkreds:

\(s = \frac{a+b+c}{2}\)

Herons formel ser således ud:

\(T = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

 

Eksempel

 

I trekant ABC er a = 6 cm, b = 8 cm og c = 4 cm.

 

Den halve omkreds s er: \(\frac{6+8+4}{2} = 9\)

 

Arealet T bliver da:

 

\(T=\sqrt{9\cdot(9-6)(9-8)(9-4)}=\sqrt{9\cdot3\cdot1\cdot5}=\sqrt{135}\approx11,62\; cm^2\)

 

Andre formler

Der findes også en formel, som forbinder trekantens areal T med radius r i trekantens indskrevne cirkel. Også i denne formel indgår trekantens halve omkreds s, da:

\(T = r \cdot s\)

Til sidst en formel, som forbinder trekantens areal T med radius R i trekantens omskrevne cirkel:

\(T = \frac{abc}{4R}\)