Sandsynlighed for hændelse


Ved sandsynligheden for en hændelse forstås summen af sandsynlighederne for de udfald, hændelsen består af.

Eksempel
Vi forestiller os en falsk terning, hvor sandsynligheden for at slå en 6’er er dobbelt stor som sandsynligheden for at slår en 1’er, en 2’er osv.

Til denne terning er der knyttet disse sandsynligheder:

u
1
2
3
4
5
6
p(u)  \(\frac{1}{7}\) 
 \(\frac{1}{7}\)   \(\frac{1}{7}\)   \(\frac{1}{7}\)   \(\frac{1}{7}\)   \(\frac{2}{7}\) 

Vi vil finde sandsynligheden for den hændelse, at vi slår mindst 5 øjne. Vi får så:

P(mindst 5) = P(5) + P(6) = \(\frac{1}{7}\) + \(\frac{2}{7}\) = \(\frac{3}{7}\)

Hvis vi har at gøre med et symmetrisk sandsynlighedsfelt, hvor alle udfald har samme sandsynlighed, kan sandsynligheden for en hændelse H udregnes på denne måde:

\(P(H) = \frac{\text{antal gunstige udfald}}{\text{antal udfald i udfaldsrummet U}}\)

De udfald, der er i udfaldsrummet U, kaldes „de mulige udfald“. De udfald, der er i hændelsen H, kaldes „de gunstige udfald“ (de er „gunstige“ for,
at hændelsen H skal indtræffe). Man ser derfor ofte formlen ovenfor udtrykt på denne måde: 

\(P(H) = \frac{\text{antal gunstige udfald}}{\text{antal mulige udfald}}\)

Det er naturligvis vigtigt at gøre sig klart, at denne formel kun gælder i symmetriske sandsynlighedsfelter.

Eksempel
Hvis vi kaster med en symmetrisk terning, vil alle udfald have samme sandsynlighed: 

u
1
2
3
4
5
6
P(u)
 \(\frac{1}{6}\)  \(\frac{1}{6}\)  \(\frac{1}{6}\)  \(\frac{1}{6}\)  \(\frac{1}{6}\)  \(\frac{1}{6}\)

I dette tilfælde kan sandsynligheden for at slå mindst 5 øjne udregnes således: 

P(mindst 5) = \(\frac{\text{antal sider med 5 øjne eller derover}}{\text{antal sider i alt}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)