Potens


En potens kan betragtes som en kort skrivemåde for en multiplikation, hvor et tal ganges med sig selv et antal gange. Når a er et vilkårligt tal, og n er et naturlige tal, defineres potensen an ved:

\(a^{n}=\underset{\text{i alt n faktorer}}{\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot a}}\)

Tallet a kaldes roden, og tallet n kaldes eksponenten eller potenseksponenten:

POTENS:

 \(\text{Rod a}\rightarrow a^{n \leftarrow \text{eksponent n}}\) 

Eksempler

32 = 3 · 3 = 9

25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32

Første udvidelse af potensbegrebet

Man kan udvide potensbegrebet til at omfatte eksponenter, der er hentet fra de hele tal, idet man definerer:

\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) og \(a^{0}=1\)

Prisen for denne udvidelse er, at roden (a) i en sådan potens ikke må være 0, da man ikke kan dividere med 0.

 

Eksempler

 \(3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\)
 \(2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}\)

Der findes regler for, hvordan man kan multiplicere og dividere potenser, der enten har samme rod eller samme eksponent.

Regneregler for potenser

Potenser med samme rod

Man ganger potenser med samme rod ved at beholde roden og lægge eksponenterne sammen.

\(a^{n}\cdot a^{p}=a^{n+p}\)

Eksempler

\(2^{4}\cdot2^{3}=2^{4+3}=2^{7}=128\)

\(3^2\cdot3=3^{2+1}=3^{3}=27\)

Man dividerer potenser med samme rod ved at beholde roden og trække nævnerens eksponent fra tællerens eksponent.

\(\frac{a^n}{a^p} = a^n-p\)

Eksempler

\(\frac{3^7}{3^5} = 3^{7-5} = 3^2 = 9\)
\(\frac{2^3}{2^4} = 2^{3-4} = 2^{-1}=\frac{1}{2}\)
Potenser med samme eksponent

Man ganger potenser med samme eksponent ved at gange rødderne og beholde eksponenten.

an · bn = (a · b)n

Eksempel

22· 32 = (2 · 3)2 = 62 = 36

Hvis man læser formlen herover fra højre mod venstre, får man denne formulering af den samme regneregel:

Man opløfter et produkt til potens ved at opløfte hver faktor for sig.

(a · b)n = an · bn

Eksempler

(3 · 4)5 = 35· 45
(3a)2 = 32· a2 = 9a2

Man dividerer potenser med samme eksponent ved at dividere rødderne og beholde eksponenten.

\(\frac{a^n}{b^n}= \left ( \frac{a}{b} \right )^n\)


Eksempel

\(\frac{28^3}{14^3}=\left ( \frac{28}{14} \right )^3 = 2^3 = 8\)

Også denne formel kan læses fra højre mod venstre:

Man opløfter en brøk til potens ved at opløfte tæller og nævner hver for sig.

\(\left ( \frac{a}{b} \right )^n = \frac{a^n}{b^n}\)

 

Eksempler

\(\left ( \frac{2}{3} \right )^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}\)
\(\left ( \frac{x}{2} \right )^3 = \frac{x^3}{2^3} = \frac{x^3}{8}\)

Endelig findes der en regel for, hvordan en potens kan indgå som rod i en ny potens:

Man opløfter en potens til ny potens ved at gange eksponenterne og beholde roden.

(an)p = an · p

Eksempler

(23)4 = 23 · 4 = 212
(3–2)5 = 3(–2) · 5 = 3–10
Anden udvidelse af potensbegrebet
Vi har nu udvidet potensbegrebet, så hele tal kan være eksponenter, blot roden ikke er 0 (nul). Det kan lade sig gøre, at udvide potensbegrebet yderligere således, at også brøker kan optræde som eksponenter. Det betyder imidlertid, at vi må forlange, at roden ikke må være negativ. Definitionen bliver da:

\(a^{\frac{1}{n}}= \sqrt[n]{a}\text{ ; }a\geq 0\)

Eksempel
Tallet \(\sqrt{a}\) kan derfor også opfattes som potensen \(a^{\frac{1}{2}}\).

Da potensen ap · q i følge regnereglen om at opløfte en potens til ny potens er det samme som tallet (a p)q, og da \(\frac{m}{n}=m \cdot \frac{1}{n}\) kan tallet \(a^{\frac{m}{n}}\) opfattes på denne måde:

\(a^{\frac{m}{n}}=a^{m \cdot \frac{1}{n}}=\left ( a^{m} \right )^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}} \text{ ; }a\geq 0 \)

Dermed er potensbegrebet udvidet, så rationale tal også kan være eksponenter – blot roden er ikk-negativ. 

Eksempel
Vi kan nu udregne \(8^{\frac{2}{3}}\) på følgende måde:
 \(8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^{2}}=\sqrt[3]{64}=4\)

Tredje udvidelse af potensbegrebet

En sidste udvidelse af potensbegrebet bevirker, at man meningsfuldt kan tillægge størrelsen ax en værdi for et vilkårligt reelt tal x, blot a er positiv. Om denne udvidelse skal der ikke siges andet her, end at enhver lommeregnerfabrikant kender den, så det er muligt
at udregne fx \(2^{\pi + \sqrt{2}}\) på en lommeregner (displayet vil vise 23,51983797).
De regneregler for potenser, der er omtalt tidligere i dette afsnit, gælder også for de tre udvidelser af potensbegrebet.