Middeltal


Ved ikke-grupperede observationer er middeltallet blot gennemsnittet af observationerne. Middeltallet betegnes af og til med \(\bar{x}\) (siges: „x-streg“). Middeltallet kan beregnes ved hjælp af hyppighedsfordelingen og ved hjælp af frekvensfordelingen, idet der gælder:

Middeltal beregnet ved hjælp af hyppigheder:

\(\bar{x} = \frac{x_1 \cdot h(x_1) + x_2 \cdot h(x_2) + … + x_n \cdot h(x_n)}{N}\)

hvor x1, x2, …, xn er de forskellige observationer og N er observationssættets størrelse.

Middeltal beregnet ved hjælp af frekvenser:

\(\bar{x} = x_1 \cdot f(x_1) + x_2 \cdot f(x_2) + … + x_n \cdot f(x_n)\)

hvor x1, x2, …, xn er de forskellige observationer.

Eksempel

I en 9.-klasse med 20 elever har man undersøgt, hvor mange udlandsrejser eleverne hver især har deltaget i. I skemaet side 77 er hyppigheds- og frekvensfordelingen fra denne undersøgelse angivet.

 x 2
3
4
5
6
 h(x) 3
4
8
4
1
 f(x)

 \(\frac{3}{20}\) = 0,15

\(\frac{4}{20}\) = 0,20
\(\frac{8}{20}\) = 0,40
\(\frac{4}{20}\) = 0,20
\(\frac{1}{20}\) = 0,05

Vi kan udregne \(\bar{x}\) (det gennemsnitlige antal rejser pr. elev) ved hjælp af hyppighederne:

\(\bar{x} = \frac{2 \cdot  3 + 3 \cdot  4 + 4 \cdot 8 + 5 \cdot 4 + 6 \cdot 1}{20} = 3,8\)

Vi kan også udregne \(\bar{x}\) ved hjælp af frekvenserne:

\(\bar{x} = 2 \cdot 0,15 + 3 \cdot 0,20 + 4 \cdot 0,40 + 5 \cdot 0,20 + 6 \cdot 0,05 = 38\)

Ved grupperede observationer udregnes for hvert observationsinterval frekvensen for intervallet ganget med intervallets midtpunkt. Summen af alle disse tal er observationssættets middeltal.

Eksempel

I den samme 9.-klasse har eleverne målt deres højde i cm og grupperet resultaterne i 3 intervaller, som hver er 10 cm lange. Intervalfrekvensen er angivet i dette skema:

 Interval I  ]160;170]  ]170;180] ]180;190] 
 f(I) \(\frac{6}{20} = 0,30\)   \(\frac{11}{20} = 0,55\) \(\frac{3}{20} = 0,15\) 

Hvis man skal give et bud på gennemsnitshøjden i klassen alene ved hjælp af frekvensfordelingen, vil man først bestemme intervallernes midtpunkter:

Interval I ]160;170] ]170;180] ]180;190]
Midtpunkt 165 175 185

Observationssættets middeltal \(\bar{x}\) kan nu udregnes:

\(\bar{x}\) = 165 · 0,3 + 175 · 0,55 + 185 · 0,15 = 173,5