Lineær funktion


Lineære funktioner er funktioner som fx:

\(f(x) = 2x + 1\)

\(g(x) = – x + 3\)

\(h(x) = \frac{1}{2}x\)

Generelt er en lineær funktion en funktion, der kan beskrives ved et funktionsudtryk af typen:

\(f(x) = ax + b\)

Grafen for en lineær funktion er en ret linje, og lineære funktioner er den eneste funktionstype, der har rette linjer som grafer.

Tallet a kaldes linjens stigningstal eller hældningskoefficient. Hvis man fra et punkt på grafen bevæger sig 1 enhed til højre, angiver tallet a, hvor meget man skal gå op (hvis a er positiv) eller ned (hvis a er negativ) for at komme til et nyt punkt på grafen.

Tallet b angiver linjens skæringspunkt med y-aksen.

Hvis b = 0, så funktionsudtrykket er f(x) = ax, kaldes funktionen en ligefrem proportionalitet.

Eksempler

Grafen for funktionen f(x) = 2x +1 har stigningstallet 2 og skærer y-aksen i (0, 1):

Grafen for funktionen f(x) = –x + 3 har stigningstallet –1 og går gennem punktet (0, 3):

Funktionen f(x) = \(\frac{1}{2}\) x er en ligefrem proportionalitet. Grafen går gennem (0, 0) og har stigningstallet \(\frac{1}{2}\):

Hvis man kender koordinaterne til to punkter (x1, y1) og (x2, y2) på grafen, kan stigningstallet a beregnes ved denne formel:

\(a=\frac{y_2 – y_1}{ x_2 – x_1}\)

Når tallet a er beregnet, kan funktionsudtrykket for funktionen findes ved at indsætte a og værdierne af talparret (x1, y1) i denne ligning:

\(f(x) = a(x – x_1) + y_1\)

Eksempel

Grafen for en lineær funktion går gennem (2, 3) og (6, 1). Vi ønsker at bestemme funktionsudtrykket.

Stigningstallet findes:

\(a = \frac{1 - 3}{6 - 2}= \frac{-2}{4}= -\frac{1}{2}\)

Funktionsudtrykket kan nu bestemmes:

\(f(x) = – \frac{1}{2} (x – 2) + 3 = – x + 1 + 3\)

altså

\(f(x) = – \frac{1}{2}x + 4\)