Kvadratrod


Ved kvadratroden af et positivt tal a (skrevet \(\sqrt{a}\)) forstås det positive tal, der opløftet til anden potens giver a.

KVADRATROD

Kvadratrodstegn \(\rightarrow \sqrt{a}\leftarrow\) Tallet a kaldes radikanden

For a > 0 gælder altså:

\(\sqrt{a} = b\) hvis og kun hvis b > 0 og b2 = a

Desuden defineres specielt: \(\sqrt{0} = 0\)

Der findes regneregler for, hvordan man ganger og dividerer kvadratrødder. Reglerne gælder også for kubikrødder, 4.-rødder osv.

Regneregler for kvadratrødder

Multiplikation

Man ganger kvadratrødder ved at gange radikanderne og beholde rodtegnet.

\(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a\cdot b}\)

Eksempel

\(\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{2\cdot 8} = \sqrt{16} = 4\)

Læses denne formel fra højre mod venstre, står der:

Man uddrager kvadratroden af et produkt ved at uddrage den af hver faktor for sig.

\(\sqrt{a\cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\)

Eksempel

\(\sqrt{4\cdot 9} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2\cdot 3 = 6\)

Den sidste formulering af sætningen giver en mulighed for at omskrive et rodudtryk ved at „sætte et kvadrattal uden for rodtegnet“.

Når a er positiv gælder:

\(\sqrt{a^{2}\cdot b} = a \cdot \sqrt{b}\)

Eksempel

\(\sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{2^{2}\cdot 3} = 2  \sqrt{3}\)

Omskrivningen kan evt. bruges, når man skal sammentælle forskellige rodstørrelser.

Eksempel

\(\sqrt{12} + \sqrt{3} = \sqrt{4\cdot 3} = 2\sqrt{3} +\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\)

Division

Man dividerer kvadratrødder ved at dividere radikanderne og beholde rodtegnet.

\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)

Eksempel

\(\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{45}{5}} = \sqrt{9} = 3\)

Læst fra højre mod venstre står der:

Man uddrager kvadratroden af en brøk ved uddrage den af tæller og nævner hver for sig.

\(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)

Eksempel

\(\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}\)