Funktion


En funktion er en beskrivelse af en bestemt sammenhæng mellem nogle tal eller nogle størrelser, der kan beskrives med tal. Det kan fx være sammenhængen mellem det antal kg tomater, man køber til 12,50 kr. pr. kg, og den samlede pris. Det særlige ved denne sammenhæng er, at til ethvert antal kg (x) er der knyttet én og kun én samlet pris (y), hvor der i dette tilfælde gælder, at y = 12,5 · x.

I en mere formel beskrivelse kan man definere en funktion således:

En funktion er en forskrift, der til ethvert tal i en talmængde A knytter ét og kun ét tal i en talmængde B.
Funktioner kaldes ofte ved små bogstaver som f, g og h. Når et tal x i A knyttes til tallet y i B ved hjælp af funktionen f, betegnes y ofte f(x). Det udtales „f af x“ og kaldes funktionsværdien af x.

Mængden A kaldes funktionens definitionsmængde og betegnes ofte Dm(f). Mængden B kaldes sekundærmængden. Mængden af funktionsværdier i B kaldes funktionens værdimængde og betegnes Vm(f).

En funktion kan angives på forskellige måder fx ved en sproglig beskrivelse af sammenhængen, ved en tabel eller ved et funktionsudtryk (regneudtryk).

Eksempeler på funktionsudtryk

\(f(x) = 2x + 7\)

\(f(x) = x^{2} – 3x + 2\)

\(f(x) = \frac{2}{x}\)

En funktionssammenhæng illustreres ofte ved funktionens graf. Grafen er en kurve i et koordinatsystem, som består af de punkter, hvis andenkoordinat er funktionsværdien af førstekoordinaten:

y = f(x)

Ethvert punkt på grafen for f har derfor et koordinatsæt på formen (x, f(x)).

Forskellige repræsentationsformer for funktioner

Funktioner kan som sagt repræsenteres på flere forskellige måder. De mest almindelige er funktionsudtryk, tabel og graf. De har hver deres fordele og ulemper, som er beskrevet herunder.

Funktionsudtryk

En funktion kan være givet ved et funktionsudtryk (regneudtryk) som fx:

f(x) = x2 – 4x + 3

eller

y = x2 – 4x + 3

Man siger også, at funktionen er givet ved en ligning. Fordelen ved et funktionsudtryk er, at man kan udregne funktionsværdien af ethvert tal ved at sætte tallet ind på x’s plads og regne værdien ud. Ulempen er, at det kan være svært at overskue, hvordan funktionen forløber blot ved at betragte funktionsudtrykket.

Tabel

En tabel er en oversigt over nogle x-værdier og de tilhørende funktionsværdier. For funktionen f(x) = x2 – 4x + 3 kan man fx udarbejde følgende tabel:

 x -2
 -1  0 1
 2 3
 4 5 6
 f(x)  15  8  3 0  -1  0  3  8  15

Fordelen ved en tabel er, at man direkte kan aflæse nogle af funktionsværdierne uden regning eller andet arbejde. Ulempen er, at man ikke kan få andre funktionsværdier end dem, der er medtaget i tabellen.

Graf

Grafen for en funktion viser funktionens forløb – der hvor den er tegnet. For disse værdier af x kan funktionsværdierne aflæses (evt. med tilnærmelse). Grafisk fremstilling af en funktionssammenhæng opfattes hurtigt af øjet. Grafen giver derfor et meget hurtigt overblik over funktionens forløb – der hvor den er tegnet. Ulempen ved grafen er dels, at funktionsværdier kun kan aflæses med tilnærmelse og dels, at man kun kan finde funktionsværdier i et begrænset område.

Her er grafen for funktionen f(x) = x2 – 4x + 3 vist.