Chancetræ


Et chancetræ er en grafisk illustration (en tegning), der kan hjælpe til at bestemme sandsynligheder ved visse sammensatte eksperimenter. Chancetræet minder om et tælletræ, men hvor tælletræet viser det samlede antal muligheder, viser chancetræet sandsynligheder.

Eksempel

Pa et bord star to krukker: K1 og K2.

Krukken K1 indeholder 2 hvide og 3 sorte kugler.

<

Krukken K2 indeholder 5 hvide og 2 sorte kugler.

Man udfører nu følgende eksperiment:

Først kaster man med en terning. Hvis terningen viser 1, 2, 3 eller 4 øjne, trækkes tilfældigt en kugle fra K1.

Hvis terningen viser 5 eller 6 øjne, trækkes tilfældigt en kugle fra K2.

Hvad er sandsynligheden for, at der ved dette eksperiment trækkes en hvid kugle?

Før vi tegner chancetræet, kan vi gøre os klart, hvad de enkelte sandsynligheder er:

Sandsynligheden for, at terningen viser 1, 2, 3 eller 4 øjne, er \(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)

Sandsynligheden for, at terningen viser 5 eller 6 øjne, er \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)

Sandsynligheden for at trække en hvid kugle fra K1 er \(\frac{2}{5}\)

Sandsynligheden for at trække en hvid kugle fra K2 er \(\frac{5}{7}\)

Chancetræet ser nu således ud:

Ved hver „gren“ er der (for hvert trin) skrevet sandsynligheden for, at eksperimentet fører denne vej. Ved hvert „blad“ (endepunkt til højre)

udregnes produkterne af de sandsynligheder, der fører op til bladet.

Det er sandsynligheden for at havne på netop dette blad. I to af bladene (nr. 1 og nr. 3 oppefra) er der valgt en hvid kugle. Her gælder:

Blad nr. 1: P(hvid kugle valgt fra K1) = \(\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{5}\)

Blad nr. 3: P(hvid kugle valgt fra K2) = \(\frac{1}{3}\cdot \frac{5}{7}\)

Den samlede sandsynlighed p for at trække en hvid kugle er derfor

\(p=\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{5}+\frac{1}{3}\cdot \frac{5}{7} = \frac{4}{15}+ \frac{5}{21} = \frac{28}{105}+ \frac{25}{105}\simeq 0,50476... \simeq 50,5\%\)