Brøk


En brøk som fx \(\frac{2}{5}\) er et forhold mellem to hele tal tælleren (2) og nævneren  (5). 

BRØK →\(\frac{a←tæller}{b←nævner}\)

En brøk kan betragtes som en division, der endnu ikke er udført. Udfører man divisionen, får man enten et endeligt decimaltal eller et periodisk decimaltal. Se også rationale tal.

En brøk er også et tal. Man kan derfor regne med brøker efter særlige regneregler – brøkregnereglerne.

Regneregler for brøker

Omskrivning af brøker

Man forlænger en brøk ved at gange i tæller og nævner med samme tal. Brøken bevarer derved sin værdi.

\(\frac{a}{b}\) = \(\frac{a•c}{b•c}\)

Eksempler

\(\frac{2}{5}\) = \(\frac{2•3}{5•3}\) = \(\frac{6}{15}\) \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{1•4}{3•4}\) = \(\frac{4}{12}\)

Se forlænge

Man forkorter en brøk ved at dividere i tæller og nævner med samme tal. Brøken bevarer derved sin værdi.

\(\frac{a}{b}\) = \(\frac{a:c}{b:c}\)

Eksempler

\(\frac{4}{6}\) = \(\frac{4:2}{6:2}\) = \(\frac{2}{3}\)
\(\frac{12}{42}\) = \(\frac{12:2}{42:2}\) = \(\frac{6}{21}\) = \(\frac{6:3}{21:3}\) = \(\frac{2}{7}\)

Se forkorte.

Addition og subtraktion

Man adderer eller subtraherer (sammentæller) brøker med samme nævner ved at sammentælle tællerne og beholde nævneren.

\(\frac{a}{c}\) ± \(\frac{b}{c}\) = \(\frac{a ± b}{c}\)

Eksempler

\(\frac{2}{9} + \frac{5}{9} = \frac{2 + 5}{9} = \frac{7}{9}\) \(\frac{4}{7}-\frac{1}{7}=\frac{4-1}{7}=\frac{3}{7}\)

Hvis brøkerne ikke har samme nævner, må de først omskrives, så de får samme nævner (brøkernes fællesnævner).

Det sker ved at forlænge eller forkorte brøkerne med passende tal.

Fællesnævneren for to (eller flere) brøker er det mindste tal, som begge (eller alle) nævnere går op i.

Eksempler

Brøkerne \(\frac{1}{2}\) og  \(\frac{2}{3}\) har fællesnævneren 6. Hvis de to brøker skal lægges sammen, skal \(\frac{1}{2}\) forlænges med 3, og \(\frac{2}{3}\) skal forlænges med 2. Vi får så:

\(\frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{3 + 4}{6} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}\)

Brøkerne \(\frac{1}{8}\) og \(\frac{1}{12}\) har fællesnævneren 24. Hvis vi skal finde differensen mellem \(\frac{1}{8}\) og \(\frac{1}{12}\), får vi:

\(\frac{1}{8} - \frac{1}{12} = \frac{3}{24} - \frac{2}{24} = \frac{3 - 2}{24} = \frac{1}{24}\)

Multiplikation

Man ganger en brøk med et helt tal ved at gange tælleren med tallet og beholde nævneren.

a • \(\frac{b}{c}\) = \(\frac{a • b}{c}\)

Eksempler

4 • \(\frac{2}{9}\) = \(\frac{4 • 2}{9}\) = \(\frac{8}{9}\) \(\frac{4}{13}\) • 3 = \(\frac{4 • 3}{13}\) = \(\frac{12}{13}\)

Man ganger to brøker ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner.

\(\frac{a}{b}\) • \(\frac{c}{d}\) = \(\frac{a • c}{b • d}\)

Eksempel

\(\frac{4}{9}\) • \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{4 • 2}{9 • 3}\) = \(\frac{8}{27}\)

Division

Man dividerer en brøk med et helt tal ved at gange nævneren med tallet.

\(\frac{a}{b}\) : c = \(\frac{a}{b • c}\)

Eksempler

\(\frac{5}{7}\) : 3 = \(\frac{5}{7 • 3}\) = \(\frac{3}{17}\)

Hvis det tal, man dividerer med, går op i tælleren, kan man også dividere tælleren med tallet:

\(\frac{12}{17}\) : 4 = \(\frac{12 : 4}{17}\) = \(\frac{3}{17}\)

Man dividerer med en brøk ved at gange med den omvendte brøk.

a : \(\frac{b}{c}\) = a • \(\frac{c}{b}\)

Den „omvendte“ brøk er den brøk, man får ved at bytte om på tæller og nævner. Den omvendte brøk til \(\frac{3}{7}\) er derfor brøken \(\frac{7}{3}\).

Eksempler

5 : \(\frac{2}{3}\) = 5 • \(\frac{3}{2}\) = \(\frac{5 • 3}{2}\) = \(\frac{15}{2}\) = 7\(\frac{1}{2}\)

\(\frac{3}{7}\) : \(\frac{2}{5}\) = \(\frac{3}{7}\) • \(\frac{5}{2}\) = \(\frac{3 • 5}{7 • 2}\) = \(\frac{15}{14}\) = 1\(\frac{1}{14}\)