Andengradsligning


Andengradsligninger er ligninger som disse:

1.  x2 – 5x + 6 = 0

2.  2x2 – 18 = 0

3.  x (x – 4) + 12 = 1 + 2(x +1)

Generelt kan en andengradsligning omskrives til en ligning på formen:

ax2 + bx + c = 0

hvor a, b og c er kendte tal, og a ≠ 0.

Ligning 3 ligner ikke en andengradsligning, men den kan omskrives til ligningen x2 – 6x + 9 = 0, så den er i virkeligheden en ligning af anden grad. En andengradsligning kan have 0, 1 eller 2 løsninger. Der gælder nemlig denne sætning:


Hvis b2 – 4ac > 0, har ligningen 2 løsninger:

x = \(\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) eller x = \(\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

Hvis b2 – 4ac = 0, har ligningen 1 løsning:

x = -\(\frac{b}{2a}\)

Hvis b2 – 4ac < 0, har ligningen ingen løsninger.

Tallet b2 – 4ac kaldes ligningens diskriminant og betegnes D. Det er altså diskriminanten, der „bestemmer“ antallet af løsninger i ligningen.

Hvis ligningen kun har 1 løsning, kaldes denne løsning en dobbeltrod. 

Eksempeler

Ligning 1: x2 – 5x + 6 = 0

Her er a = 1, b = –5 og c = 6.

Da b2– 4ac = (–5)2 – 4·1·6 = 25 – 24 = 1,

har ligningen to løsninger:

\(x = -\frac{- (-5) - \sqrt{1}}{2 · 1} = \frac{5 - 1}{2} =  \frac{4}{2} = 2\)

og

\(x = - \frac{- (-5) + \sqrt{1}}{2 · 1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3\)

Ligning 3: x2 – 6x + 9 = 0

Her er b2 – 4ac = (–6)2 – 4·1·9 = 36 – 36 = 0.

Der er altså 1 løsning:

\(x = - \frac{-6}{2·1} = -(-3) = 3\)